Lösungen

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Beitragvon Peter Lustig » Do 15. Dez 2011, 00:31

1) z=2e^(1/3 Pi*i) w=wurzel(2)e^(1/4 Pi*i)
a) =2*wurzel(2)e^(7/12 Pi*i)
b) = 1/(wurzel(2)e^(1/12 Pi*i))
c) = 4e^(2/3 Pi*i)
d) = wurzel(2) (einfach nur der radius o.O?)
e) = 2e^(-1/3 Pi*i)

ich bin mir nicht sicher ob das so reicht, oder ob wir hier die z=x+yi Form verwenden müssen. Wäre eigentlich sinnlos, wenn wir z=x+yi verwenden müssten, weil man dann einfach nur billig multiplizieren müsste. hmm...

2)
a) z1 = 1 z2 = -0,5+0,87i z3 = -0,5-0,87i
b) z1 = 0,92+0,38i z2 = -0,38+0,92i z3 = -0,92-0,38i z4 = 0,38-0,92i

3)
z1 = 2e^(1/6 Pi*i) = 1,73+i
z2 = 2e^(2/3 Pi*i) = -1+1,73i
z3 = 2e^(7/6 Pi*i) = -1,73-i
z4 = 2e^(5/3 Pi*i) = 1-1,73i

4)
Die NS sind:
z1 = 1
z2 = -1
z3 = -0,5
z4 = 0,25+0,43i
z5 = 0,25-0,43i

Den Funktionswert als Produkt darzustellen bekommt ihr selber hin ;)
Serie 01-09: 170,5/180 Punkte <--- Epic Pro

TM Vorklausur: 23/26 Punkte 1,3 :D

Rechtschreibfehler können gegessen werden.
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Re: Lösungen

Beitragvon cupido.morpheus » Do 15. Dez 2011, 20:48

bei 10.1 b) hab ich 1/2 * Wurzel (2) * e^(i * (- 1/12 * Pi)) ... denk mal, dass du bloß das Vorzeichen vergessen hast :)

bei 10.2 a) brauchst du nicht runden, hierbei kannst du die Lösung ganz genau angeben, z.B. z1= -1/2 + i * (1/2 * Wurzel (3)) etc.

ansonsten: weiter so =)
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Re: Lösungen

Beitragvon HRO_Block24 » Fr 16. Dez 2011, 00:47

also zu 2. so wie cupido gesagt hat.
zu 1. hab ich bei der b)
1/sqrt(2) e^(i * (- 1/12 * Pi)) und dass dann als 1/sqrt(2) e^(i * (23/12 * Pi)), da ich lieber einen positiven bruch oben habe, ich weiß grade nicht ob man nich einen bruch zwischen 0 und 2pi angeben muss, oder ob das iwo anders war.

das gleiche dann bei der e da hab ich:
z(quer)= 2 e^(-pi/3 *i)= 2 e^(5pi/3 *i)

achso, dann hab ich noch was zu d), da hab ich geschrieben:
|(wurzel 2) * e^(pi/4 * i)| = |(wurzel 2)| * |e^(pi/4 * i)|
{und jez haben wir in der vorlesung bewiesen, dass |e^(i* phi)| = 1}
=|wurzel 2| * 1 = wurzel 2
nur so als herleitung...


und zu deiner frage bei eins Peter: Es steht ja in der Aufgabenstellung "und berechnen sie DAMIT die folgenden Ausdrücke" also mit der exponentiellen Form.
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Re: Lösungen

Beitragvon Anna » Fr 16. Dez 2011, 20:06

Hallo,
müssten die Lösungen von 10.2 a nicht
z0=1
z1=e^(2/3*Pi)
z2=e^(4/3*Pi) sein?

Die Exponentialfunktion ist 1*e^(i*0) und die Lösungsformel lautet ja dann: zk=3te Wurzel(1) * e^(i*(0/3+2*k*Pi/3)) = e^(i*2/3*Pi*k)
Das scheint mir nicht das gleiche zu sein wie das was ihr rausbekommen habt
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Re: Lösungen

Beitragvon HRO_Block24 » So 18. Dez 2011, 17:01

(1) e^(2/3*Pi) = -0,5 * Wurzel(3)i /2
(2) e^(4/3*Pi) = -0,5 * -Wurzel(3)i /2
wobei Wurzel(3)i /2 = 0,87 ist. damit sind die Lösungen wohl richtig :P
du kannst die exponentielle Form in die algebraische Form umwandeln mit:
x= r * cos phi
y= r * sin phi

also für 1 einmal:
r = 1
phi = 2/3 pi

x = 1 * cos 2/3 pi = -0,5
y = 1 * cos 2/3 pi = Wurzel(3) /2
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Re: Lösungen

Beitragvon Tschudi » So 18. Dez 2011, 20:23

kann mir mal einer sagen wie ihr auf 10.2 b gekommen seit und dann ebenfalls die zerlegung in linearfaktoren bei 10.4...oder ist das falsch? :?
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Re: Lösungen

Beitragvon Anna » So 18. Dez 2011, 22:46

Das ist einleuchtend^^
Zu 10.2 b:
Stell dir das Koordinatensystem vor. i liegt genau auf der y-Achse, die einen Winkel von Phi= 90°=Pi/2 bildet. Die algebraische Darstellung von z^4=i lautet ganz ausführlich: z^4= 0+1*i, demnach ist der Betrag 1. Reicht das als Starthilfe?
Zu 10.4:

Auf die reelen Lösungen kommt man wie gehabt (eine raten, dann Polynomdivision).
Man erhält dann eine quadratische Lösung die man in die p-q-Formel einsetzt..
Die Zerlegung sollte folgendermaßen aussehen:
(z-19(z+1)(z+1/2)(z-(1/4+0,43i))(z-(0,25-0,43i))
Zuletzt geändert von Anna am So 18. Dez 2011, 23:35, insgesamt 2-mal geändert.
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Re: Lösungen

Beitragvon HRO_Block24 » So 18. Dez 2011, 22:47

2b) z^4=i => winkel ist 90°, also pi/2 => z^4=1 * e^(pi/2 * i)
zk= 4.Wurzel(1) * e^(pi/2 *1/4 + 2k*pi/4)
=>
z0 = 1*e^(pi/8 i)
z1 = 1*e^(5pi/8 * i)
z2 = 1*e^(9pi/8 * i)
z3 = 1*e^(13pi/8 * i)

die lsg. kannst du dann mit x= r * cos phi und y= r * sin phi in die algebraische form umschreiben, damit du sie in der Gaußschen Zahlenebene darstellen kannst, bzw du machst es über radius und winkel aber über die algebraische is es theoretisch einfacher...
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Re: Lösungen

Beitragvon thomas » Mo 19. Dez 2011, 20:39

Ich versteh überhaupt nich was ihr bei Aufgabe 10.2 gerechnet habt.
gegeben ist doch z^3 = 1 das heißt (x+yi)^3 = 1
Aus der komplexen Zahl z muss also eine Reelle rauskommen. Also das i muss verschwinden.
Ich setzt y=0 und x=1. Wenn ich das dann ausmultipliziere komme ich auch genau auf 1.
Mir ist schon klar, dass wahrscheinlich ich die Aufgabe falsch verstanden habe. Trotzdem wüsste ich gerne wieso.
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